Rien ne t'empêche de signer un CDI le 11 et de commencer à travailler à la fin du mois, je ne vois pas en quoi cela serait illégal. C'est même très courant de commencer à travailler au début du mois suivant la signature du CDI...
La prime de précarité est là pour aider les gens qui n'obtiennent pas de CDI à la suite d'un CDD. Il ne s'agit pas d'un dû lorsque l'on finit un CDD mais d'une incitation aux entreprises à proposer des CDI à la suite d'un CDD!
Non seulement refuser de le signer tout de suite juste pour obtenir une prime qui ne devrait pas t'être due est très petit, mais si j'étais ton employeur, cela m'inciterais même à ne pas renouveler ton contrat...
Alors ne fais pas de bêtise et signe ce CDI dès que possible!